HIMPUNAN
Salah satu kemampuan yang kita kuasai setelah kita mempelajari logika proposisi adalah kemampuan untuk membedakan. Membedakan apakah tautologi,kontradiksi atau bentuk proposisi yang lain, membedakan apakah proposisi bernilai bernar atau salah,membedakan apakah kuantor universal atau existential. Untuk dapat menguasai teori himpunan, kemampuan untuk membedakan sangat diperlukan, karena himpunan merupakan kumpulan benda atau ibjek yang didefinisikan secar jelas. Himpunan dapat dipandang sebagai kumpulan benda-benda yang berbeda tetapi dalam satu segi dapat ditanggapi seabgai suatu kesatuan. Objek-objek ini disebut anggota atau elemen himpunan.



Cara Penyajian Himpunan
Enumerasi
Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci.

Contoh :

Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
-Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.
C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
C = {a, {a}, {{a}} }
K = { {} }
Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.


Keanggotaan
x  A : x merupakan anggota himpunan A;
x  A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
Contoh 2. Misalkan:


A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
K = {{}}
maka
3  A
{a, b, c}  R
c  R
{}  K
{}  R
Menggunakan simbol standar (baku)
Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam suatu simbol standar (baku) yang telah

diketahui secara umum oleh masyarakat (ilmiah).

Contoh 3 :

N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }

Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks

Himpunan yang universal (semesta pembicaraan) dinotasikan dengan U.

Contoh 4 :

Misalkan

       U = {1, 2, 3, 4, 5}

dan A = {1, 3, 5} merupakan himpunan bagian dari U asd.

Menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan kriteria (syarat)

keanggotaan himpunan tersebut. Himpunan ini dinotasinya sebagai berikut :

{ x ⎥ syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh  :

A adalah himpunan bilangan asli yang kecil dari 10
            A = { x | x ≤ 10 dan x ∈ N } atau A = { x ∈ N | x ≤ 10 }

yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah matematika diskrit}
Atau

M = { x adalah mahasiswa | ia mengambil kuliah matematika diskrit}

Menggunakan Diagram Venn
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan anggotanya dalam

suatu gambar (diagram) yang dinamakan diagram venn.

Contoh  :

Misalkan S = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:



Terkait dengan masalah keanggotaan, suatu himpunan dapat dinyatakan

sebagai anggota himpunan lain.



1.3 Operasi Himpunan

Ada beberapa operasi himpunan yang perlu diketahui, yaitu : irisan , gabungan, komplemen, selisih dan beda setangkup.

Irisan (intersection)
Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∩ ‘.

Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak saling lepas, maka

A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }

Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :



     2. Gabungan

Gabungan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∪‘.

Misalkan A dan B adalah himpunan, maka

A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

 Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :



Contoh  :

Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7}
A ∪ ∅ = A
Komplemen
Komplemen dari suatu himpunan merupakan unsur -unsur yang ada pada himpunan

universal (semesta pembicaraan ) kecuali anggota himpunan tersebut. Misalkan A

merupakan himpunan yang berada pada semesta pembicaraan U, maka komplemen dari

himpunan A dinotasikan oleh :

A = { x | x ∈ U dan x ∉ A }



Jika dinyatakan dalam b entuk diagram Venn adalah :

Contoh  :

Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 5, 6, 8}

jika A = { x ∈ U | x habis dibagi dua }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9 }

Contoh  :

A = himpunan mahasiswa Teknik Informatika

B = himpunan mahasiswa yang tinggal di Kos

C = himpunan mahasiswa angkatan 2018

D = himpunan mahasiswa yang mengambil matematika diskrit

E = himpunan mahasiswa yang membawa motor untuk pergi ke kampus

Pernyataan
“Semua mahasiswa Teknik Informatika angkatan 2018 yang membawa motor untuk pergi ke kampus” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut :

(A ∩ C) ∩ E

Pernyataan
“Semua mahasiswa Teknik Infomatika yang tinggal di Kos dan tidak mengambil           matematika diskrit” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai                   berikut :

A ∩ B ∩ D



2. Pernyataan

             “semua mahasiswa angkatan 2018 yang tidak tinggal di Kos atau tidak membawa         motor untuk pergi ke kampus” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan               sebagai berikut :

C ∩ (B ∪ E)

Selisih (difference)
         Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘– ‘.

         Misalkan A dan B adalah himpunan, maka selisih A dan B dinotasikan oleh


A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B



Contoh  :

Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 3, 5, 7}, maka A – B = { 1, 4, 6, 8, 9 }

dan B – A = ∅

5. Beda Setangkup (Symmetric Difference)



D C A2   , A1 Tidak subset  A2

Semua anggota D adalah anggota Himpunan A

Sebutkan semua subset dari A1 = { 3, 6, 9 }

{3}
{6}
{9}
{3,6,9}
{3,6}
{6,9}
{3,9}
{ }


Himpunan Kuasa
himpunan dari semua subhimpunan yang dibuat dari sebuah himpunan.                          Notasinya adalah 2A. Himpunan lainnya: HimpunanSemesta.

P ( A1) = { {3}, {9}, {3,6,9}, {3,6}, {3,9}, {6,9},{ }



Himpunan Sama (=)
Ketika anggotanya sama persis

  Himpunan sama sudah pasti ekivalen
Himpunan ekivalen belum tentu himpunan sama
A1 = { 1,2,3} , A2 = { 1,2,3}, A3 = {4,5,6}

A1 sama dengan A2 , A1 ≠ A3 , A1  ≡ A3

Himpunan Ekivalen
Dua buah himpunan atau lebih disebut  lainsatu sama lain, apabila banyaknya anggota himpunan-himpunan tersebut sama. Artinya dua himpunan atau lebih disebut ekuivalen apabila antara setiap anggota himpunan yang satu memiliki hubungan satu-satu dengan setiap anggota himpunan lainnya. Dinyatakan himpunan Q yang ekuivalen dengan himpunan R dalam notasi Q ~ R. Maka dapat disimpulkan bahwa Q ~ R, bila n(Q) = n(R) atau banyaknya nggota himpunan Q sama dengan banyaknya nggota himpunan R. Untuk lebih jelas silahkan memperhatikan contoh di bawah ini.

Contoh 1:
Q =  {nama hari dalam seminggu yang diawali dengan huruf S}
R = {senin, selasa, sabtu}
Q = {a, b, c} n(Q) = 3, maka
Q ~ B, karena n(Q) = n(P).
Contoh 2:
P = {1, 2, 3, 4}, n(P) = 4
Q = {v, w, x, y}, n(Q) = 4
Maka, P ~ Q, akrena n(P) = n(Q)



Himpunan saling lepas ( // )
Didalam dua atau lebih himpunan, mungkin saja tidak ada anggota yang sama satu buah pun. Himpunan yang tidak memiliki anggota yang sama satu pun disebut himpunan saling lepas (disjoint). Dua Himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

A // B , Jika A ∩ B = { }





DAFTAR PUSTAKA



Matematika Diskrit Sekolah tinggi Teknologi Telkom pdf

Materi Himpunan pdf

Catatan Matematika Diskrit Cahyo saputra